Phương pháp tính khoảng cách từ: Điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ tới mặt phẳng $(\alpha ):ax + by + cz + d = 0.$
Công thức: $d\left( {{M_0};(\alpha )} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}.$
Hệ quả:
* $ { M_0 } \ in ( \ alpha ) $ $ \ Leftrightarrow d \ left ( { { M_0 } ; ( \ alpha ) } \ right ) = 0. $* USD d \ left ( { { { M } _ { 0 } } ; ( \ alpha ) } \ right ) USD với $ \ left \ { \ begin { array } { l } M_ { 0 } H \ perp ( \ alpha ) \ \ H \ in ( \ alpha ) \ end { array } \ right. $* Với mọi USD M \ in ( \ alpha ) : $ $ d \ left ( { { M_0 } ; ( \ alpha ) } \ right ) \ le { M_0 } M. $
Bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳngCâu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ $A(1;2;3)$ đến mặt phẳng $(Oxy).$
A. $ d = 1. $B. USD d = 2. $C. USD d = 3. $D. USD d = \ sqrt 5. $Lời giải :Mặt phẳng USD ( Oxy ) USD có phương trình : USD z = 0. $USD \ Rightarrow d ( A ; ( Oxy ) ) = \ frac { { | 3 | } } { { \ sqrt 1 } } = 3. $Chọn đáp án C .
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $A’$ là điểm đối xứng của điểm $A(1;2;3)$ qua mặt phẳng $(Oxy).$ Tính độ dài đoạn thẳng $AA’.$ A. $4.$ B. $2.$ C. $3.$ D. $6.$
Lời giải :Mặt phẳng USD ( Oxy ) USD có phương trình : USD z = 0 $ $ \ Rightarrow d ( A ; ( Oxy ) ) = \ frac { { | 3 | } } { { \ sqrt 1 } } = 3. $Suy ra : USD AA ’ = 2 d ( A ; ( Oxy ) ) = 6. $Chọn đáp án D .Kết quả chú ý quan tâm : Với $ \ left ( { { x_0 } ; { y_0 } ; { z_0 } } \ right ) USD ta có :USD d ( M ; ( Oxy ) ) = \ left | { { z_0 } } \ right |. $USD d ( M ; ( Oyz ) ) = \ left | { { x_0 } } \ right |. $USD d ( M ; ( Oxz ) ) = \ left | { { y_0 } } \ right |. $
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A(1;2;-3)$ trên mặt phẳng $(Oxy).$ Tính diện tích $S$ tam giác $OHA.$
A. USD S = \ frac { { \ sqrt { 13 } } } { 2 }. $B. USD S = \ sqrt { 10 }. $C. USD S = \ frac { { 3 \ sqrt 5 } } { 2 }. $D. USD S = \ frac { { 5 \ sqrt { 15 } } } { 2 }. $Lời giải :Ta có : USD OA = \ sqrt { 14 } $, $ AH = d ( A ; ( Oxy ) ) = 3. $Tam giác $ OHA $ vuông tại $ H $ suy ra : USD OH = \ sqrt { O { A ^ 2 } – A { H ^ 2 } } = \ sqrt 5. $Vậy $ S = \ frac { 1 } { 2 } AH.OH = \ frac { { 3 \ sqrt 5 } } { 2 }. $Chọn đáp án C .
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A(1;2;-3)$ trên mặt phẳng $(Oxz).$ Tính diện tích $S$ tam giác $OHA.$
A. USD S = \ frac { { \ sqrt { 13 } } } { 2 }. $B. USD S = \ sqrt { 10 }. $
C. $S = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}.$
D. USD S = \ frac { { 5 \ sqrt { 15 } } } { 2 }. $Lời giải :Ta có : USD OA = \ sqrt { 14 } $, $ AH = d ( A ; ( Oyz ) ) = 2. $Tam giác $ OHA $ vuông tại $ H $ suy ra : USD OH = \ sqrt { O { A ^ 2 } – A { H ^ 2 } } = \ sqrt { 10 }. $Vậy $ S = \ frac { 1 } { 2 } AH.OH = \ sqrt { 10 }. $Chọn đáp án B .
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ $A(1;3;-2)$ đến mặt phẳng $(P):x + 2y – 2z + 1 = 0.$
A. $ d = 4. USDB. USD d = 2. $C. USD d = 3. $D. USD d = \ sqrt 5. $Lời giải :Ta có : USD d ( A ; ( P ) ) = \ frac { { | 1 + 6 + 4 + 1 | } } { { \ sqrt { { 1 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } + { { ( – 2 ) } ^ 2 } } } } = 4. USDChọn đáp án A .
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính bán kính $R$ của mặt cầu tâm $A(1;3;2)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):x + 2y + 2z + 1 = 0.$ A. $d=4.$ B. $d=2.$ C. $d=3.$ D. $d = \sqrt 5 .$
Lời giải :Do mặt cầu tâm $ A $ tiếp xúc với mặt phẳng USD ( P ) : USDUSD \ Leftrightarrow R = d ( A ; ( P ) ) $ $ = \ frac { { | 1 + 6 + 4 + 1 | } } { { \ sqrt { { 1 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } + { { ( – 2 ) } ^ 2 } } } } = 4. USDChọn đáp án A .
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;1;-2)$ và mặt phẳng $(P):2x+2y+z+1=0.$ Gọi $M$ là điểm bất kì thuộc $(P)$, tính độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $AM.$
A. USD 2. $B. USD 1. $C. $ \ sqrt 2. $D. $ \ sqrt 3. $Lời giải :Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ A $ trên USD ( P ). $Ta có : $ AM \ ge AH $ $ \ Rightarrow A { M_ { \ min } } = AH = d ( A ; ( P ) ) = 1. $Chọn đáp án B .
Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $K(1;1;0)$ và mặt phẳng $(\alpha ):x + y + z – 1 = 0.$ Gọi $(C)$ là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm $K$, bán kính $R=2$ với mặt phẳng $(\alpha )$, tính diện tích $S$ của $(C).$
A. USD S = \ frac { { 22 \ pi } } { 3 }. $B. USD S = \ frac { { 44 \ pi } } { 3 }. $C. USD S = \ frac { { \ sqrt { 33 } \ pi } } { 3 }. $D. USD S = \ frac { { 11 \ pi } } { 3 }. $Lời giải :
Ta có: $d(K;(\alpha )) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.$ Gọi $r$ là bán kính đường tròn $(C)$, ta có: $r = \sqrt {{R^2} – {{[d(K;(\alpha ))]}^2}} = \frac{{\sqrt {33} }}{3}.$
Vậy $ S = \ pi { r ^ 2 } = \ frac { { 11 \ pi } } { 3 }. $Chọn đáp án D .Tin tức – Tags: công thức, hình học không gian, khoảng cách, mặt phẳng